בגרות חורף 2024 – וקטורים בפירמידה שבסיסה מעויןוקטורים 472 · שיעור 36
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם פירמידה מרובעת SABCD שבסיסה ABCD הוא מעוין. הנקודה E היא אמצע המקצוע SC. AS מאונך לבסיס הפירמידה.
נסמן: AB = u , AD = v , AS = w.
א. הביעו באמצעות u, v ו־w את הווקטורים EB ו־ED.
נתון: ∢BAD = 60 מעלות, |u| = |w|.
ב. הוכיחו כי EB מאונך ל־ED.
📄 נוסח השאלה · המשך
נתון: A(0 , 0 , 0) , B(2√3 , 2 , 0). הקודקוד D נמצא על החלק החיובי של ציר ה־y. שיעור ה־z של הקודקוד S הוא חיובי.
ג. (1) מצאו את אורך המקצוע AB ואת שיעורי הקודקוד S. (2) חשבו את נפח הפירמידה SABCD.
סעיף א – הבעת EB ו־ED
נבנה מסלולים מנקודה לנקודה דרך וקטורים שאנחנו מכירים. קודם האלכסון AC: במעוין הצלעות הנגדיות שוות ומקבילות, לכן BC = AD = v.
AC = AB + BC
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
נציב AB = u , BC = v:
AC = u + v
עכשיו SC – מ־S חוזרים ל־A ואז הולכים ל־C:
SC = SA + AC
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
XY = XZ + ZY
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
XY = XZ + ZY
סעיף א – הבעת EB ו־ED · המשך
SC = SA + AC
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
נציב SA = −w , AC = u + v:
SC = −w + u + v
E אמצע SC, ולכן SE הוא חצי מ־SC:
SE = 12SC
📐 אמצע קטע
נציב SC = −w + u + v:
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
XY = XZ + ZY
📐 אמצע קטע
XM = 12XY כש־M אמצע XY
סעיף א – הבעת EB ו־ED · המשך
נציב SC = −w + u + v:
SE = 12(−w + u + v) = 12u + 12v − 12w
מכאן AE:
AE = AS + SE
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
נציב AS = w , SE = 12u + 12v − 12w:
AE = w + 12u + 12v − 12w = 12u + 12v + 12w
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
XY = XZ + ZY
סעיף א – הבעת EB ו־ED · המשך
AE = w + 12u + 12v − 12w = 12u + 12v + 12w
EB: מ־E חוזרים ל־A ואז הולכים ל־B:
EB = EA + AB = −AE + AB
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
נציב AE = 12u + 12v + 12w , AB = u:
EB = −(12u + 12v + 12w) + u = −12u − 12v − 12w + u
📐 וקטור נגדי
EB = 12u − 12v − 12w
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
XY = XZ + ZY
📐 וקטור נגדי
XY = −YX
סעיף א – הבעת EB ו־ED · המשך
EB = 12u − 12v − 12w
ED: מ־E חוזרים ל־A ואז הולכים ל־D:
ED = EA + AD = −AE + AD
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
נציב AE = 12u + 12v + 12w , AD = v:
ED = −(12u + 12v + 12w) + v = −12u − 12v − 12w + v
ED = −12u + 12v − 12w
📐 כינוס איברים
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
XY = XZ + ZY
📐 כינוס איברים
מכנסים איברים דומים: −12v + v = 12v
סעיף א – הבעת EB ו־ED · המשך
ED = −12u + 12v − 12w
📐 כינוס איברים
✅ פתרון סופי: EB = 12u − 12v − 12w
ED = −12u + 12v − 12w
ED = −12u + 12v − 12w
📐 כינוס איברים
מכנסים איברים דומים: −12v + v = 12v
סעיף ב – הוכחה ש־EB מאונך ל־ED
נסמן |u| = a. במעוין כל הצלעות שוות, ולכן גם |v| = a; ונתון |w| = |u| = a.
המכפלות הסקלריות הבסיסיות:
u · v = |u| · |v| · cos ∢BAD
📐 מכפלה סקלרית
נציב |u| = |v| = a , ∢BAD = 60:
u · v = a · a · cos 60 = a2 · 12 = 12a2
u · w = 0
📐 וקטורים מאונכים
📐 מכפלה סקלרית
a · b = |a| · |b| · cos ∢
📐 וקטורים מאונכים
a ⊥ b ⟺ a · b = 0
סעיף ב – הוכחה ש־EB מאונך ל־ED · המשך
u · w = 0
📐 וקטורים מאונכים
v · w = 0
(AS מאונך לבסיס, ולכן מאונך לכל ישר בבסיס – גם ל־AB וגם ל־AD.)
u · u = v · v = w · w = a2
📐 ריבוע של וקטור
נוציא 12 מכל וקטור:
נציב EB = 12(u − v − w) , ED = 12(−u + v − w):
📐 וקטורים מאונכים
a ⊥ b ⟺ a · b = 0
📐 ריבוע של וקטור
a · a = |a|2
סעיף ב – הוכחה ש־EB מאונך ל־ED · המשך
נציב EB = 12(u − v − w) , ED = 12(−u + v − w):
EB · ED = 12(u − v − w) · 12(−u + v − w)
📐 הוצאת גורם משותף
EB · ED = 12 · 12 · (u − v − w) · (−u + v − w)
פותחים סוגריים – כל איבר מהראשון כפול כל איבר מהשני (9 מכפלות):
u · (−u + v − w) = −u · u + u · v − u · w
−v · (−u + v − w) = v · u − v · v + v · w
📐 הוצאת גורם משותף
מוציאים גורם משותף מכל סוגריים
סעיף ב – הוכחה ש־EB מאונך ל־ED · המשך
−v · (−u + v − w) = v · u − v · v + v · w
−w · (−u + v − w) = w · u − w · v + w · w
נציב u · u = v · v = w · w = a2 , u · v = 12a2 , u · w = v · w = 0:
u · (−u + v − w) = −a2 + 12a2 − 0
📐 פתיחת סוגריים
−v · (−u + v − w) = 12a2 − a2 + 0
−w · (−u + v − w) = 0 − 0 + a2
📐 פתיחת סוגריים
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
סעיף ב – הוכחה ש־EB מאונך ל־ED · המשך
−w · (−u + v − w) = 0 − 0 + a2
מחברים:
−a2 + 12a2 + 12a2 − a2 + a2 = 0
EB · ED = 14 · 0 = 0
EB ⊥ ED
📐 וקטורים מאונכים
✅ פתרון סופי: הוכחנו: EB · ED = 0 ← EB ⊥ ED
📐 וקטורים מאונכים
a ⊥ b ⟺ a · b = 0
סעיף ג (1) – אורך AB ושיעורי S
AB = B − A = (2√3 , 2 , 0)
📐 וקטור בין שתי נקודות
|AB| = √(2√3)2 + 22 + 02 = √12 + 4 = √16 = 4
📐 אורך וקטור
S: הבסיס נמצא במישור z = 0 (שיעור ה־z של A ושל B הוא 0, ו־D על ציר ה־y). AS מאונך לבסיס, ולכן הוא על ציר ה־z: S(0 , 0 , z) עם z > 0.
|AS| = |AB| = 4
📐 נתון
S(0 , 0 , 4)
לחישוב הנפח נצטרך גם את D: הוא על החלק החיובי של ציר ה־y, ובמעוין AD = AB = 4, ולכן D(0 , 4 , 0).
📐 וקטור בין שתי נקודות
XY = Y − X
📐 אורך וקטור
|(x , y , z)| = √x2 + y2 + z2
📐 נתון
|w| = |u|
סעיף ג (1) – אורך AB ושיעורי S · המשך
לחישוב הנפח נצטרך גם את D: הוא על החלק החיובי של ציר ה־y, ובמעוין AD = AB = 4, ולכן D(0 , 4 , 0).
cos ∢BAD = AB · AD|AB| · |AD|
📐 בדיקה: זווית בין וקטורים
נציב AB · AD = 0 + 8 + 0 , |AB| = |AD| = 4:
cos ∢BAD = 0 + 8 + 04 · 4 = 12
וזה מתאים לנתון ∢BAD = 60 מעלות.
✅ פתרון סופי: AB = 4
S(0 , 0 , 4)
S(0 , 0 , 4)
📐 בדיקה: זווית בין וקטורים
a · b = |a| · |b| · cos ∢
סעיף ג (2) – נפח הפירמידה
שטח הבסיס – מעוין עם צלע 4 וזווית 60 מעלות:
SABCD = |AB| · |AD| · sin ∢BAD
📐 שטח מקבילית (ומעוין)
נציב |AB| = |AD| = 4 , ∢BAD = 60:
SABCD = 4 · 4 · sin 60 = 16 · √32 = 8√3
הגובה הוא AS = 4 (מאונך לבסיס):
V = 13 · SABCD · AS
📐 נפח פירמידה
📐 שטח מקבילית (ומעוין)
S = a · b · sin ∢
📐 נפח פירמידה
V = 13 · S · h
סעיף ג (2) – נפח הפירמידה · המשך
V = 13 · SABCD · AS
📐 נפח פירמידה
נציב SABCD = 8√3 , AS = 4:
V = 13 · 8√3 · 4 = 32√33 ≈ 18.48
✅ פתרון סופי: V = 32√33 ≈ 18.48 יחידות נפח
📐 נפח פירמידה
V = 13 · S · h
📌 סיכום התשובות
סעיף א
EB = 12u − 12v − 12w
ED = −12u + 12v − 12w
ED = −12u + 12v − 12w
סעיף ב
EB · ED = 0 ← מאונכים
סעיף ג (1)
AB = 4
S(0 , 0 , 4)
S(0 , 0 , 4)
סעיף ג (2)
V = 32√33 ≈ 18.48
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא